====== 幂及其运算 ======

===== 公式总结 =====
^  说明  ^  公式  ^
|  底数相同，式子相乘，指数相加  |  <m 15>a^m*a^n=a^{m+n}</m>  |
|  底数相同，式子相除，指数相减  |  <m 15>a^m/a^n=a^{m-n}</m>  |
|  幂的乘方，指数相乘  |  <m 15>(a^m)^n=a^{m*n}</m>  |
|  积的乘方，指数均分  |  <m 15>(ab)^m=a^m b^m</m>  |
|  指数为0  |  <m 15>a^0=1</m>  |
|  指数为-1  |  <m 15>a^-1=1/a</m>  |
|  指数为正数  |  <m 15>a^{m/n}=root{n}{a^m}</m>  |
|  指数为负数  |  <m 15>a^{-{m/n}}=1/a^{m/n}=1/root{n}{a^m}</m>  |


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===== 幂的形式 =====
幂也叫次方或乘方，意思为一个数自乘多次

表达式为 <m 15>n^m</m>，其中n为非零数，m为实数，表示为**n的m次幂/m次方**，n为底数，m为指数


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===== 幂的运算规律 =====

^  说明  ^  公式  ^
|  底数相同，式子相乘，指数相加  |  <m 15>a^m*a^n=a^{m+n}</m>  |
|  底数相同，式子相除，指数相减  |  <m 15>a^m/a^n=a^{m-n}</m>  |
|  幂的乘方，指数相乘  |  <m 15>(a^m)^n=a^{m*n}</m>  |
|  积的乘方，指数均分  |  <m 15>(ab)^m=a^m b^m</m>  |

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===== 根号的本质 =====

根号和幂是一对互为相反的运算符，若有<m 15>a=b^2</m>则有<m 15>b=sqrt{a}</m>.

就像减法是一种特殊的加法一样，我们先假设根号是一种特殊的幂，那么有<m 15>a=sqrt{a}*sqrt{a}=a^m*a^m</m>

根据上面的**底数相同，式子相乘，指数相加**规律有<m 15>a^m*a^m= a^{2m}= a^1 doubleright 2m=1 doubleright m=1/2</m>

所以平方根的实质就是二分之一次方，同理立方根就是三分之一次方……，推广得：<WRAP center round tip 60%>
<m 20> root{n}{a}=a^{1/n} </m>
</WRAP>



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===== 当指数为分数时 =====

如果指数是 <m 14>2/3</m>又怎么计算呢？

还是根据上面的**幂的乘方，指数相乘**规律，有 <m 15>a^{2/3}=a^{2*{1/3}}=(a^2)^{1/3}=root{3}{a^2}</m>

这样，我们就能总结出指数为分数的计算规律了:
<WRAP center round tip 60%><m 20> a^{m/n}=root{n}{a^m} </m></WRAP>


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===== 当指数为0时 =====

如果指数变成了0，是怎么样的呢

根据**底数相同，式子相除，指数相减**我们让指数变为0看看:<m 15>a^0=a^{m-m}=a^m/a^m=1</m>

所以零次方是等于一啊，推广得：<WRAP center round tip 60%>
<m 20> a^0=1 </m>
</WRAP>
<WRAP center round alert 60%>
<m 14>0^0</m> , 零的零次方没有意义
</WRAP>

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===== 当指数为负时 =====

现在0和正数作为指数的运算我们都会了，那么指数为负数是怎么样的呢？我们用-5试试：

根据上面的规律，可以这样写：<m 15>a^{-5}=(a^5)^{-1}</m>

也就是说，所有的负指数都可以拆成正数和一个-1，正数我们已经会了，那么-1次方怎么运算呢

就像指数为0一样，我们让他变成-1 ：<m 15>a^{-1}=a^{0-1}=a^0/a^1=1/a</m>

所以原来-**1次方的结果是变成倒数**啊！那么 <m 15>a^{-5}=(a^5)^{-1}=1/a^5</m> ,我们总结得到:<WRAP center round tip 60%>
<m 20> a^-1=1/a ~~~~ a^{-m}=1/a^m </m>
</WRAP>

那么我们再来推导一下负分数：<WRAP center round tip 60%>
<m 20> a^{-{m/n}}=1/a^{m/n}=1/root{n}{a^m} </m>
</WRAP>


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====== 幂函数 ======

===== 定义 =====
形如 <m 16>y=x^a</m>的函数称为**幂函数**(x为自变量,a为常数)

===== 分类 =====
如同幂运算一样，指数不同时，幂函数的表现形式也不同。



==== 当指数为0时 ====
{{ :algebra:zw0.jpg?300|y=x^0 }}
我们知道任何数的零次方都为1，所以幂函数图像是y=1的直线



==== 当指数为1时 ====
{{ :algebra:zw1.jpg?300|y=x^1 }}
任何数的一次方都为它本身，所以幂函数图像是y=x的直线