====== 函数 ===== 函数(Function)是指两个数集之间的对应关系的关系式 ===== 映射 ===== **映射**是指两个数集之间的对应关系。例如有一个为学生分数的集合{40,50,60,70,80,90,100}，和一个表示成绩优良的集合{不及格，及格，良好，优秀}。我们假设<60分为不及格，60~80及格，80~90良好，>90优秀。那么两个集合之间就有对应关系了。 {{ :algebra:map.jpg?250 |}} 按照这个__分数等级分配的规律__，我们就把分数集合**映射**到了优良集合中 数学上的映射也有，例如我想把我现在拥有的0~1之间的数据放大成0~100，那么我只需要对每个数据×100即可。这样就从0~1通过映射关系__(×100)__映射到0~100。 ---- ===== 自变量、因变量 ===== 函数属于映射的一种，函数（function）这个词，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“**凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数**”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。 这就和映射一样，映射规则是不变的，只要映射前的量改变了，映射后的量也可能发生改变。 函数，拥有自变量和因变量，顾名思义，**自变量**就是自己会变的量，**因变量**就是因为自变量的变化从而跟着变化的量。确定它们两个之间的关系的式子，就叫做**函数**。 {{ :algebra:function1.jpg?200|}} 举个例子，例如你以一定的速度v向前走，你走了一分钟、两分钟、一个钟走了多远呢？ 根据常识我们知道路程S = vt（v为速度，t为时间），那么只要把t换成一分钟、两分钟就可以知道走过的路程了。 这个例子，其实就是一个函数的表示。式中的t其实就是**自变量**，因为我们还没有确定时间，或者我们要计算多个时间，那么t就是变化的，就是自变量。 而v我们知道走路速度不变，走路速度也不会随时间变化(就是不累，不会一会快一会慢)，v是不会变的，只是一个常数，所以是常量。 最后的S是由v和t共同决定的，因为t是自变量，S随着t的变化而变化，所以S就是**因变量**啦 如果我们把自变量写成x，把因变量写成y，那么就可以变为 y=vx ,那么从自变量到因变量的关系就是**乘了一个v**，这就是他们的函数关系，一般我们把函数关系式写成f() (f是函数英文function的缩写)，可以有 y=vx~~doubleright~~y=f(x)=vx 这个f，__在这里__就是表示将括号里面的东西**乘一个v**，无论括号里面是什么，例如： f(a^2+bc)=v(a^2+bc) 甚至你还可以f(f(x))=f(vx)=vvx=v^2x 或者 f(f(f(f(...))))=..... ---- ===== 定义域、值域 ===== 还是拿回这个走路来说，我们设走路的函数 S=f(t)=vt t是自变量，也就是走的时间，可以为1s、2s等，**那么能不能为负呢**？显然不能，哪里有负的时间，过了-10秒是什么意思啊。那么这个自变量t**只能取大于等于0的数**了。 t>=0 我们把自变量能取值的范围叫做定义域，也就是可以定义这个函数的区域(自变量不能定义，函数也不能定义)。 因为因变量S会随自变量t变化而变化，既然t有一个范围，那么显然S也会有一个范围，我们成为函数的值域，也就是这个函数**最终的值的范围**。 一般如果确定了定义域，我们这样书写函数(在后面加上定义域)： f(x)=vx ~~(x>=0) 在 f(t)=vt 这个路程-时间函数中，值域不仅与t还和v有关： * v>0 ， 值域将{>=}0，向前走，路程为正 * v=0 ， 值域将{=}0，不动，路程为0 * v<0 ， 值域将{<=}0，向后走，路程为负 这告诉我们，在讨论函数的值域时，还要看清题目，判断是否需要分情况讨论 关于定义域一般喜欢这样出题，例如求 f(x)={ln(x+1)}/{sqrt{-x^2-3x+4}} 的定义域 首先，分母不能为0，也就是根号里面不能{<=}0,解出根号下面的一元二次方程，可以得到 -4 。 {{ :algebra:function2.jpg?200|}} 再看看分子，对数函数取值要 {>}0 那么也就是 x>-1 分子分母相结合，也就是 -1 所以这个函数的定义域就是 -1 (图中数轴上的空心圆圈表示不等于该数) ---- ===== 函数图像 ===== ==== 平面直角坐标系 ==== {{ :algebra:function3.jpg?200|}} 顾名思义，**平面直角坐标系**就是在一个平面上的坐标系。 我们在平面上定一个点，称它为原点，然后经过这个原点画一条直线，然后再画一条垂直第一条直线又过原点的直线，两条直线相互垂直，所以叫直角坐标系。 画好线后，我把线变成坐标轴，给它标上刻度。 一般来说，水平的坐标轴向右为正，称为x轴，垂直的坐标轴向上为正，称为y轴。 这两条直线把平面分成了四大区块，我们把区块称为象限，x轴和y轴都为正的为**第一象限**，然后逆时针排布为第二第三第四象限。 那么，在平面直角坐标系上表示一个点的位置，就可以用x轴的坐标（横坐标）和y轴的坐标（纵坐标）来表示了，格式为(x轴坐标,y轴坐标)，例如 (2,3) ==== 函数图像 ==== 还是用回上面的路程-时间函数举例 f(t)=vt=S 我们先假设我走路的速度是 2m/s 那么，我们可以尝试这样做：先让t=0，记下S的值，然后t=1、t=2、t=3...并且记录下各个S的值，列出一个表格来： ^ t ^ f(t) ^ | 0 | 0 | | 1 | 2 | | 2 | 4 | | 3 | 6 | | 4 | 8 | | ... | ... | 我们把一行数据看做为平面直角坐标系上的点，t的值为x轴坐标，S的值为y轴坐标，例如第2行可以表示为(1,2)，把这些点标出来: {{ :algebra:function4.jpg?300 |}} 如果我们减少t增加的幅度呢？0.5？0.1？最后到很小很小，图案不就变成一条线了吗 {{ :algebra:function5.jpg?900 |}} 我们就说，这条线就是这个函数的图案了。我们发现这个路程-时间函数的图像是一条上升的直线，也就是速度不变的话，时间越长(x坐标越大)，走的距离越长(y坐标越大)。 其他函数是不是这样呢，我们用同样的方法试试f(x)=x^2画出来是怎样的： {{ :algebra:function6.jpg?300 |}} 呀，竟然是弯的，看来**函数不同，图像也不同**呀。 ==== 函数图像与方程 ==== 方程？又关方程什么事啊。诶，你看 f(x)=2x~,~0=2x 他们不是很像吗？你说得好像也很有道理诶，那他们有什么关系呢？ 例如我要解 3x+4=19 这个方程,我假设一个 y=3x+4 的函数，然后把这个函数的图像画出来：{{ :algebra:function7.jpg?400 |}} 方程是要等于19，那么我再在y轴上找到19，再画一条水平线过去，找到直线y=19的地方，在过它画一调垂直线就可以知道它的横坐标了，横坐标就是方程的解了！{{ :algebra:function8.jpg?400 |}} 哎呀，这方程我心算都能算出来，还要画图麻烦死了。诶，这只是简单的方程，如果是一元二次方程呢，三次呢，四次呢？ 只有试过才知道，用画图解一元二次方程 -x^2+2x+5=2 我们设函数 y=-x^2+2x+5 ，然后画图出来： {{ :algebra:function9.jpg?400 |}} 然后在y=2的地方画一条水平线，就可以找到方程的解了。 **但是**，最后划线这一步其实是可以省略掉的，我们只需要一个小小的转化：把原方程转化为标准方程： -x^2+2x+5=2 ~~doubleright~~ -x^2+2x+3=0 这样子，我们设的函数 y=-x^2+2x+5 只需要找出当y=0的点，在y=0的地方画一条水平线...诶，等等，这条线不是已经有了吗，就是x轴啊，所以我们直接找函数曲线和x轴的交点不就行了吗{{ :algebra:function10.jpg?400 |}} 这就是**标准方程**存在的意义之一，**我们称函数曲线和x轴相交的点的横坐标为__函数的零点__**，上面这个函数的零点就是-1和3，-1和3也是函数对应方程的根。 虽然上面举例的两个函数都比较简单，可以直接算出解来，但是**往往许多复杂的方程都依赖着函数图像求解，而且函数图像里还藏有很多方程的性质，是值得我们学习的**，下面展示一些有一点复杂的函数： f(x)=sin(x^2) {{ :algebra:function11.jpg?600 |}} f(x)=ln(x^2) {{ :algebra:function12.jpg?600 |}} ---- ===== 注意事项 ===== 函数中自变量和因变量是一一对应的关系，即一个自变量只能有一个因变量，不能有两个。如下图在x轴的同一坐标处有两个y值(__划一根垂直的竖线，函数只能与竖线相交一个点，如果有更多点，则不是函数！__){{ :algebra:function13.jpg?250 |}} 图片这个不是函数 另外，函数可以写成f(x)=xxxxx或者y=xxxxx 前者只能表示函数，后者还可以表示除了函数以外的东西，最好有说明 多个函数一起出现时，f可以换成其他字母，如delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{f(x)=...}{g(x)=...}{h(x)=...}}}{} 注意，大写的F有另外用途，不能使用F(x)来表示函数