流体力学:表述流动的方法 [TOYOHAY Clouds Wiki]

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====== 表述流动的方法 ======

===== 拉格朗日方法 =====
着眼与流点的运动状况的流动描述方法。

正交系中，流体的位置矢量 $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$，$\vec{r}$ 为时间t的函数，在 $t=t_0$ 时，每个流点处于不同位置 $(x_0,y_0,z_0)$，有：
$$
\begin{cases}
x = x(x_0,y_0,z_0,t)\\
y = y(x_0,y_0,z_0,t)\\
z = z(x_0,y_0,z_0,t)
\end{cases}
$$

===== 欧拉方法 =====
使用空间中固定点上的流速来秒是流动。

空间点 $(x,y,z)$上的流速 $\vec{V}$ 是空间、时间的函数，有：
$$
\vec{V}=\vec{V}(x,y,z,t)\mbox{ or }
\begin{cases}
u = u(x,y,z,t)\\
v = v(x,y,z,t)\\
w = w(x,y,z,t)
\end{cases}
$$
若速度$\vec{V}$与$x,y,z$无关，则为**空间均匀流场**；若速度与时间无关，则为**定常流场**。

===== 两者转换 =====
====拉格朗日转欧拉====
拉格朗日为流点运动的位置矢量，对其求时间微分即为该流点的速度
$$
\begin{cases}
u(x_0,y_0,z_0,t)=\frac{\partial}{\partial t}x(x_0,y_0,z_0,t)\\
v(x_0,y_0,z_0,t)=\frac{\partial}{\partial t}y(x_0,y_0,z_0,t)\\
w(x_0,y_0,z_0,t)=\frac{\partial}{\partial t}z(x_0,y_0,z_0,t)
\end{cases}\mbox{ or }
\vec{V}(x_0,y_0,z_0,t)=\frac{\partial}{\partial t}\vec{r}(x_0,y_0,z_0,t)
$$
====欧拉转拉格朗日====
把欧拉的点$(x,y,z)$认为是$t_0$时流点的位置
$$
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=u[x(t), v(t), z(t), t]\\
\frac{dy}{dt}=v[x(t), v(t), z(t), t]\\
\frac{dz}{dt}=w[x(t), v(t), z(t), t]
\end{cases}
$$