显示页面讨论修订记录反向链接回到顶部 本页面只读。您可以查看源文件,但不能更改它。如果您觉得这是系统错误,请联系管理员。 ====== 函数 ===== 函数(Function)是指两个数集之间的对应关系的关系式 ===== 映射 ===== **映射**是指两个数集之间的对应关系。例如有一个为学生分数的集合{40,50,60,70,80,90,100},和一个表示成绩优良的集合{不及格,及格,良好,优秀}。我们假设<60分为不及格,60~80及格,80~90良好,>90优秀。那么两个集合之间就有对应关系了。 {{ :algebra:map.jpg?250 |}} 按照这个__分数等级分配的规律__,我们就把分数集合**映射**到了优良集合中 数学上的映射也有,例如我想把我现在拥有的0~1之间的数据放大成0~100,那么我只需要对每个数据×100即可。这样就从0~1通过映射关系__(×100)__映射到0~100。 ---- ===== 自变量、因变量 ===== 函数属于映射的一种,函数(function)这个词,最早由中国清朝数学家李善兰翻译,出于其著作《代数学》。之所以这么翻译,他给出的原因是“**凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数**”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,或者说一个量中包含另一个量。 这就和映射一样,映射规则是不变的,只要映射前的量改变了,映射后的量也可能发生改变。 函数,拥有<wrap em>自变量</wrap>和<wrap em>因变量</wrap>,顾名思义,**自变量**就是自己会变的量,**因变量**就是因为自变量的变化从而跟着变化的量。确定它们两个之间的关系的式子,就叫做**函数**。 {{ :algebra:function1.jpg?200|}} 举个例子,例如你以一定的速度v向前走,你走了一分钟、两分钟、一个钟走了多远呢? 根据常识我们知道路程<m 14>S = vt</m>(v为速度,t为时间),那么只要把t换成一分钟、两分钟就可以知道走过的路程了。 这个例子,其实就是一个函数的表示。式中的t其实就是**自变量**,因为我们还没有确定时间,或者我们要计算多个时间,那么t就是变化的,就是自变量。 而v我们知道走路速度不变,走路速度也不会随时间变化(就是不累,不会一会快一会慢),v是不会变的,只是一个常数,所以是常量。 最后的S是由v和t共同决定的,因为t是自变量,S随着t的变化而变化,所以S就是**因变量**啦 如果我们把自变量写成x,把因变量写成y,那么就可以变为 <m 20>y=vx</m> ,那么从自变量到因变量的关系就是**乘了一个v**,这就是他们的<wrap em>函数关系</wrap>,一般我们把函数关系式写成<m 20>f()</m> (f是函数英文function的缩写),可以有 <WRAP center round tip 60%> <m 20> y=vx~~doubleright~~y=f(x)=vx </m> </WRAP> 这个f,__在这里__就是表示将括号里面的东西**乘一个v**,无论括号里面是什么,例如:<m 15> f(a^2+bc)=v(a^2+bc) </m> 甚至你还可以<m 15>f(f(x))=f(vx)=vvx=v^2x</m> 或者 <m 15>f(f(f(f(...))))=.....</m> ---- ===== 定义域、值域 ===== 还是拿回这个走路来说,我们设走路的函数 <m 15>S=f(t)=vt</m> t是自变量,也就是走的时间,可以为1s、2s等,**那么能不能为负呢**?显然不能,哪里有负的时间,过了-10秒是什么意思啊。那么这个自变量t**只能取大于等于0的数**了。<m 20> t>=0 </m> 我们把自变量能取值的范围叫做<wrap em>定义域</wrap>,也就是可以定义这个函数的区域(自变量不能定义,函数也不能定义)。 因为因变量S会随自变量t变化而变化,既然t有一个范围,那么显然S也会有一个范围,我们成为函数的<wrap em>值域</wrap>,也就是这个函数**最终的值的范围**。 一般如果确定了定义域,我们这样书写函数(在后面加上定义域):<m 20> f(x)=vx ~~(x>=0) </m> 在 <m 15>f(t)=vt</m> 这个路程-时间函数中,值域不仅与t还和v有关: * <m 15>v>0</m> , 值域将<m 14>{>=}0</m>,向前走,路程为正 * <m 15>v=0</m> , 值域将<m 14>{=}0</m>,不动,路程为0 * <m 15>v<0</m> , 值域将<m 14>{<=}0</m>,向后走,路程为负 这告诉我们,在讨论函数的值域时,还要看清题目,<wrap em>判断是否需要分情况讨论</wrap> 关于定义域一般喜欢这样出题,例如求 <m 15>f(x)={ln(x+1)}/{sqrt{-x^2-3x+4}}</m> 的定义域 首先,分母不能为0,也就是根号里面不能<m 14>{<=}0</m>,解出根号下面的一元二次方程,可以得到 <m 20>-4<x<1</m> 。 {{ :algebra:function2.jpg?200|}} 再看看分子,对数函数取值要 <m 14>{>}0</m> 那么也就是 <m 20>x>-1</m> 分子分母相结合,也就是 <m 15>-1<x<1</m> 所以这个函数的定义域就是 <m 25>-1<x<1</m> (图中数轴上的空心圆圈表示不等于该数) ---- ===== 函数图像 ===== ==== 平面直角坐标系 ==== {{ :algebra:function3.jpg?200|}} 顾名思义,**平面直角坐标系**就是在一个<wrap em>平面上</wrap>的坐标系。 我们在平面上定一个点,称它为<wrap em>原点</wrap>,然后经过这个原点画一条直线,然后再画一条垂直第一条直线又过原点的直线,两条直线相互垂直,所以叫直角坐标系。 画好线后,我把线变成坐标轴,给它标上刻度。 一般来说,水平的坐标轴向右为正,称为x轴,垂直的坐标轴向上为正,称为y轴。 这两条直线把平面分成了四大区块,我们把区块称为<wrap em>象限</wrap>,x轴和y轴都为正的为**第一象限**,然后逆时针排布为第二第三第四象限。 那么,在平面直角坐标系上表示一个点的位置,就可以用x轴的坐标(横坐标)和y轴的坐标(纵坐标)来表示了,格式为(x轴坐标,y轴坐标),例如 <m 14>(2,3)</m> ==== 函数图像 ==== 还是用回上面的路程-时间函数举例 <m 15>f(t)=vt=S</m> 我们先假设我走路的速度是 2m/s 那么,我们可以尝试这样做:先让t=0,记下S的值,然后t=1、t=2、t=3...并且记录下各个S的值,列出一个表格来: ^ <m 14>t</m> ^ <m 14>f(t)</m> ^ | 0 | 0 | | 1 | 2 | | 2 | 4 | | 3 | 6 | | 4 | 8 | | ... | ... | 我们把一行数据看做为平面直角坐标系上的点,t的值为x轴坐标,S的值为y轴坐标,例如第2行可以表示为(1,2),把这些点标出来: {{ :algebra:function4.jpg?300 |}} 如果我们减少t增加的幅度呢?0.5?0.1?最后到很小很小,图案不就变成一条线了吗 {{ :algebra:function5.jpg?900 |}} 我们就说,这条线就是这个函数的图案了。<wrap em>我们发现这个路程-时间函数的图像是一条上升的直线,也就是速度不变的话,时间越长(x坐标越大),走的距离越长(y坐标越大)</wrap>。 其他函数是不是这样呢,我们用同样的方法试试<m 15>f(x)=x^2</m>画出来是怎样的: {{ :algebra:function6.jpg?300 |}} 呀,竟然是弯的,看来**函数不同,图像也不同**呀。 ==== 函数图像与方程 ==== 方程?又关方程什么事啊。诶,你看 <m 14>f(x)=2x~,~0=2x</m> 他们不是很像吗?你说得好像也很有道理诶,那他们有什么关系呢? 例如我要解 <m 15>3x+4=19</m> 这个方程,我假设一个 <m 15>y=3x+4</m> 的函数,然后把这个函数的图像画出来:{{ :algebra:function7.jpg?400 |}} 方程是要等于19,那么我再在y轴上找到19,再画一条水平线过去,找到直线y=19的地方,在过它画一调垂直线就可以知道它的横坐标了,横坐标就是方程的解了!{{ :algebra:function8.jpg?400 |}} 哎呀,这方程我心算都能算出来,还要画图麻烦死了。诶,这只是简单的方程,如果是一元二次方程呢,三次呢,四次呢? 只有试过才知道,用画图解一元二次方程 <m 15>-x^2+2x+5=2</m> 我们设函数 <m 15>y=-x^2+2x+5</m> ,然后画图出来: {{ :algebra:function9.jpg?400 |}} 然后在y=2的地方画一条水平线,就可以找到方程的解了。 **但是**,最后划线这一步其实是可以省略掉的,我们只需要一个小小的转化:把原方程转化为标准方程: <m 18> -x^2+2x+5=2 ~~doubleright~~ -x^2+2x+3=0 </m> 这样子,我们设的函数 <m 15>y=-x^2+2x+5</m> 只需要找出当y=0的点,在y=0的地方画一条水平线...诶,等等,这条线不是已经有了吗,就是x轴啊,所以我们直接找函数曲线和x轴的交点不就行了吗{{ :algebra:function10.jpg?400 |}} 这就是**标准方程**存在的意义之一,**我们称函数曲线和x轴相交的点的<wrap em>横坐标</wrap>为__函数的零点__**,上面这个函数的零点就是-1和3,-1和3也是函数对应方程的根。 虽然上面举例的两个函数都比较简单,可以直接算出解来,但是**往往许多复杂的方程都依赖着函数图像求解,而且函数图像里还藏有很多方程的性质,是值得我们学习的**,下面展示一些有一点复杂的函数: <m 14> f(x)=sin(x^2) </m>{{ :algebra:function11.jpg?600 |}} <m 14> f(x)=ln(x^2) </m>{{ :algebra:function12.jpg?600 |}} ---- ===== 注意事项 ===== 函数中自变量和因变量是一一对应的关系,即<wrap em>一个自变量只能有一个因变量</wrap>,不能有两个。如下图在x轴的同一坐标处有两个y值(__划一根垂直的竖线,函数只能与竖线相交一个点,如果有更多点,则不是函数!__){{ :algebra:function13.jpg?250 |}} <WRAP center round alert 60%> 图片这个不是函数 </WRAP> 另外,函数可以写成<m 20>f(x)=xxxxx</m>或者<m 20>y=xxxxx</m> 前者只能表示函数,后者还可以表示除了函数以外的东西,最好有说明 多个函数一起出现时,f可以换成其他字母,如<m 15>delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{f(x)=...}{g(x)=...}{h(x)=...}}}{}</m> 注意,大写的F有另外用途,不能使用<m 14>F(x)</m>来表示函数 algebra/function.txt 最后更改: 2018/12/19 16:49(外部编辑)