函数的性质

各种各样的函数，他们都是有什么共同的性质呢?

斜率，也就是描述倾斜程度的，有些函数的图像比较平缓，有些则比较陡，我们就可以用函数的斜率来描述这个性质。

那么要怎样定量的描述斜率呢，就像速度一样，一定的时间里走的路程远速度就大，路程小速度就小。我们取一定长度的x轴距离，如果函数越倾斜，那么y轴的增加量就越大。

如图，我们在x轴上取一个单位距离（一个单位距离就是1），在0~1的范围里面，一号函数从0变为1，变化量是1；而比较倾斜的二号函数从0变成了3，变化量是3。可见，越倾斜的函数在单位距离内的变化量越大，那么我们就可以这样定义斜率：两个点之间的纵坐标差与横坐标差的比，也就是在函数上取两个点 (x_1,y_1) 和 (x_2,y_2) 那么，这两点之间函数的斜率(常用k表示斜率)就是

$k={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$

例如上面的函数2，取得点是(0,0)与(1,3)，那么它的斜率 k={3-0}/{1-0}=3 ，下面是一些斜率的性质：

，表示函数是向上增长的
，表示斜率为零，函数是水平的
，表示函数是向下减少的
越大，表示函数越倾斜

那么是不是每个函数都有一个斜率呢，当然不是，例如二次函数，先下降再上升，斜率明显是会变的，所以一个函数的斜率是变化的

上面说的斜率，是函数两个点之间一段距离里面的斜率。但这也不是非常准确的，为什么呢？我们可以看看这个二次函数：如果我们取(0,0)(1,1)和(0,0)(2,4)两组点来计算斜率，会得到 k=1 和 k=2 两个不同的结果。这是因为在这两段距离之间的斜率是变化的，所以这样的方法不能很好地描述斜率。

那么怎么办呢，如果我们想要知道一个点的斜率，但是这个点附近的斜率是变化的。在这里，就要引进一点极限的思维了。例如我想求(1,1)点的斜率，那么我们可以取他的两边横坐标各相隔 d=1 的点(0,0)、(2,4)。可以看到我们实际上求的是两点之间的直线(红线)的斜率,而不是函数曲线的斜率。

那么，我们让d小一点，那么两个点之间的直线不就就更加接近函数的曲线了吗，我们试一试：

可以看到，当d越小时，两点之间的直线越接近函数的曲线，我们可以这么认为：当d趋向于无限小时，计算出来的斜率就是这个点的斜率了，也就是： $k={y_{x+d}-y_{x-d}}/{(x+d)-(x-d)}={y_{x+d}-y_{x-d}}/{2d}$ 在实际应用计算中，我们可以取比较小的d来计算较为准确的斜率，如果要计算出准确的斜率，我们可以用到导数来计算。