显示页面讨论修订记录反向链接回到顶部 本页面只读。您可以查看源文件，但不能更改它。如果您觉得这是系统错误，请联系管理员。 ======基本初等函数====== =====正比例函数===== 形如 <m 15>y=kx~~(k>0)</m> 的函数，y与x成比例，y∝x，称为**正比例函数**。 {{ :algebra:function21.jpg?150|}} * 正比例函数过原点 * 正比例函数在R单调递增 * 正比例函数是奇函数 * 正比例函数是一条直线 * 正比例函数的斜率为式中的k ---- =====反比例函数===== {{ :algebra:function22.jpg?200|}} 与正比例函数相反，当 <m 15>k<0</m> 时，y与x成负相关，称为**反比例函数**。 * 反比例函数过原点 * 反比例函数在R单调递减 * 反比例函数是奇函数 * 反比例函数斜率为k ---- =====一次函数===== 当未知数x的次数为1时，称为一次函数。标准形式为 <m 15>y=kx+b</m> 。与正反比例函数很相似，当b=0时，为正反比例函数。{{ :algebra:function25.jpg?250|}} 一次函数中的常数项b的几何意义是将函数<m 15>y=kx</m>上下<wrap em>平移</wrap>b。因为正比例函数是过原点的，当上下平移b单位个之后，函数与y轴的交点为(0,b)。我们把函数与y轴相交的点到原点的距离称为**截距**。那么一次函数的截距为b 下面是一次函数的性质： * 一次函数是一条直线 * 一次函数与y轴的截距为b * 一次函数斜率为k * 一次函数单调，增减由k决定 * k为0时，不是一次函数 {{ :algebra:function24.jpg?400 |}} ---- =====二次函数===== 二次函数，又称抛物线，图形是一条抛物线，也就是往空总抛东西的运动轨迹。 标准形式为 <m 15>y=ax^2+bx+c</m> 为什么抛的东西就是这样的轨迹呢，我们可以把抛物运动分为两个方向，一个是水平向前，一个是垂直向上，两个运动结合起来就是抛物运动。 把东西扔出去后，物体只受到重力的作用，所以水平方向上没有力，速度就不变，就像函数的x一样是均匀变大的。而在竖直方向上，物体就像我们原地往上扔东西一样，先上升，再下降，就像函数的y轴，由x²决定，x²并不是均匀的。两者结合起来就是抛物线的样子。 {{ :algebra:paowuxian.gif?350 |}} 抛物线的性质： * <m 15>a>0</m> 抛物线开口向上 * <m 15>a<0</m> 抛物线开口向下 * a越大，开口越小;a越小，开口越大 * <m 15>b=0</m> 时，为偶函数 * 抛物线中心对称线横坐标<m 15>x=-{b}/{2a}</m> {{ :algebra:function26.jpg?400 |}}{{ :algebra:function27.jpg?500 |}} ---- ===== 幂函数 ===== 形如 <m 15>y=x^a</m> ，a为有理数的函数称为**幂函数**，上面的<m 15>y=x^2</m>即是幂函数的一种。 {{ :algebra:function28.jpg?600 |}} 幂函数中指数a的不同对函数性质有较大的影响，这里不一一讨论，只列出一些简单的规律： * <m 16>a>0</m> 时，函数必过(0,0)和(1,1) * <m 16>a<0</m> 时，函数必过(1,1) * <m 16>a=0</m> 时，函数不是直线，在(0,1)处有断点，因为<m 16>0^0</m>无意义 ---- ===== 指数函数 ===== 形如 <m 16>y=a^x ~~(a>0,a<>1)</m> 的函数称为为**指数函数**，即底数不变为常数，指数为自变量的函数。指数函数是非常重要的函数，很多自然现象都与它有关。例如一个细胞一分钟能分裂成两个，两分钟分裂成四个，然后八个、十六个、三十二个……要描述细胞的数量，我们可以用函数 <m 16>y=2^x</m> 来表示，x代表的是一共分裂了多少分钟。 讨论指数函数，我们可以按照a的取值来分情况： ====当a>1时==== {{ :algebra:function29.jpg?400 |}} * 函数必过(0,1) * 函数单调递增 * a越大，函数增长越快 * <m 15>x<0</m>时，函数非常接近x轴 ====当0>a>1时==== {{ :algebra:function30.jpg?400 |}} * 函数必过(0,1) * 函数单调递减 * a越小，下降越快 * <m 15>x>0</m>时，函数非常接近x轴 ====对称性==== 当两个指数函数的a互为倒数时，两个函数沿y轴对称： {{ :algebra:function31.jpg?500 |}} ====指数式增长==== 指数函数的增长速度非常快。如果一个细胞一分钟分裂成两个，一个小时就能分裂出<m 15>2^60=1.15*10^18</m>个，把这个数写开也就是<m 15>1152921504606800000</m>个细胞。所以我们一般形容某样东西数量增长很快就会用**指数增长**或**指数式增长**来形容。 下面图片是相同的a情况下，指数函数与幂函数的对比。缩小之后可以看到指数函数<wrap em>近乎垂直增长</wrap> {{ :algebra:function32.jpg?500 |}} ---- =====对数函数===== 形如 <m 16>y=log_a{x}~~(a>0,a<>1)</m> 的函数称为**对数函数**，对数和指数是一对互为逆运算的运算符，所以他们的函数之间有许多相似的地方。 <wrap em>对数函数的定义域为 x>0</wrap> ====当a>1时==== {{ :algebra:function33.jpg?400 |}} * 函数必过(1,0) * 函数单调递增 * a越大，增长越慢 ====当0>a>1时==== {{ :algebra:function34.jpg?400 |}} * 函数必过(1,0) * 函数单调递减 * a越大，下降越快 ---- =====指数函数与对数函数的关系===== 指数运算和对数运算互为逆运算，所以函数间也有一定的关系： ^ ^ 指数函数 ^ 对数函数 ^ | 形式 | <m 16>y=a^x</m> | <m 16>y=log_a{x}</m> | | 定义域 | R | <m 16>x>0</m> | | 值域 | <m 16>y>0</m> | R | | 必经点 | (0,1) | (1,0) | | <m 16>a>1</m> | 增长 | 增长 | | <m 16>a<1</m> | 减少 | 减少 | 可以看出指数函数和对数函数存在许多对称关系，甚至当a相同时，指数函数还与对数函数沿<m 15>y=x</m>对称：{{ :algebra:function35.jpg?400 |}} ---- =====三角函数===== 三角函数内容较多，另开页面编写，完成后在此附上链接 algebra/functions.txt 最后更改: 2018/12/23 18:41(外部编辑)