对数及其性质

对数(logarithm)是对求幂的逆运算，就如同除法是乘法的逆运算一样

如果 a^x=N 那么x叫做以a为底的N的对数，写作 x=log_a N ，a叫做底数，N叫做真数

a^x=N ~~doubleleftright~~ x=log_a N

简单来说， log_a N 就是求a的多少次方是N

根据幂运算的知识，可以直接得到对数的一下性质：

任何数的零次方等于一
任何数的一次方等于本身
a的n次方为b，b的次方为a，
零和负数没有对数

对数是幂的逆运算，所以和幂运算一样也有运算的规律，根据幂运算的规律，有：

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{a^m=k} {a^n=l} {a^{m+n}=kl} }}{ }~ doubleright~ delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{log_a k=m} {log_a l=n} {log_a (kl)=m+n} }}{ }~ doubleright~ log_a {kl}=log_a k+log_a l$

这样就有底数相同的对数相加，真数相乘的规律，下面给出其他规律，读者可尝试自己证明。

log_a (mn)=log_a m+log_a n log_a (m/n)=log_a m-log_a n log_a m^n=n log_a m $log_a root{n}{m}=1/n log_a m$ $a^{log_a b}=b$

特别注意，前两条规律一定是底数相同才可使用的

换底公式是对数运算中非常重要的公式之一，下面给出证明：

假设有: a=b^m~,~b=c^n 那么可以有 $a=(c^n)^m=c^{mn}$

转化为对数，有： $delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_b a=m}{log_c a=mn}}}{}$ 将下式除以上式得 ${log_c a}/{log_b a}=n=log_b c$ ，这就得到了换底公式了

$log_a b = {log_c b}/{log_c a}$

换底公式可以将比较难计算的对数式拆分成两个底数不同的对数式的商，在下面的内容中将有应用

我们目前日常所用的数字，都是十进制的，也就是到十进一位

所以如果用底数为10的对数就可以表示一些较大的数字，例如： log_10 1000000000=9

一般把以10为底数的对数运算符 log_10 简写为，即 lg 10000000=7

以10为底的对数在工程技术中经常使用，例如化学中的PH值指的就是氢离子在溶液中浓度的对数的相反数，如氢离子浓度为 $1.0*10^{-3}$ mol/L，则它的 $PH=(-1)lg 1.0*10^{-3}=3$

e？这个e是个什么东西？可能老师只会跟你说它叫做自然底数，它的值e=2.718… 嗯嗯？？So why?

因为这里篇幅有限，就不在这里展开说明了，e是这样定义的： $e=lim{n right infty}{(1+{1/n})^n}$

???lim又是什么东西啊！我要晕了。。好吧，那就简单一点说，它既然叫得自然底数，那么肯定和自然有什么关系吧。

自然底数e其实是自然界中规律的“精髓”，从细胞繁殖，到鹦鹉螺的螺旋曲线，从物体运动的阻力，到放射性元素衰变，从自然到生命，哪里都有e的身影，它与其他常数共同决定了广袤宇宙、日月星辰、世间万物，包括你和我。

一个小小的数字真的有这么大的力量吗？是的，它就是那么神奇、那么神秘，令人敬畏，这就是数学之美。

好了废话不多说，想了解更多关于e的历史可以点我到知乎优秀回答查看

和上面一样，以e为底的对数 log_e 称为自然对数，习惯简写成

e作为和大自然息息相关的数字，自然对数在应用方面肯定有很重要的地位了，例如利息就可以用它计算，顺便一提，e的来源就是从利息里面来的。

利用换底公式，我们可以把一些难计算的对数式变成我们已知的值，例如； $log_2 3~=~{lg 3}/{lg 2}~=~{ln 3}/{ln 2}$ 其中log3和log2我们都可以从资料或者查表获得，这样就可以计算比较难的对数了

对数及其性质

定义

性质

运算规律

换底公式

当底数为10时

当底数为e时

换底公式的应用

TOYOHAY Clouds Wiki