algebra:幂

幂及其运算

说明 公式
底数相同,式子相乘,指数相加 a^m*a^n=a^{m+n}
底数相同,式子相除,指数相减 a^m/a^n=a^{m-n}
幂的乘方,指数相乘 (a^m)^n=a^{m*n}
积的乘方,指数均分 (ab)^m=a^m b^m
指数为0 a^0=1
指数为-1 a^-1=1/a
指数为正数 a^{m/n}=root{n}{a^m}
指数为负数 a^{-{m/n}}=1/a^{m/n}=1/root{n}{a^m}

幂也叫次方或乘方,意思为一个数自乘多次

表达式为 n^m,其中n为非零数,m为实数,表示为n的m次幂/m次方,n为底数,m为指数


说明 公式
底数相同,式子相乘,指数相加 a^m*a^n=a^{m+n}
底数相同,式子相除,指数相减 a^m/a^n=a^{m-n}
幂的乘方,指数相乘 (a^m)^n=a^{m*n}
积的乘方,指数均分 (ab)^m=a^m b^m

根号和幂是一对互为相反的运算符,若有a=b^2则有b=sqrt{a}.

就像减法是一种特殊的加法一样,我们先假设根号是一种特殊的幂,那么有a=sqrt{a}*sqrt{a}=a^m*a^m

根据上面的底数相同,式子相乘,指数相加规律有a^m*a^m= a^{2m}= a^1 doubleright 2m=1 doubleright m=1/2

所以平方根的实质就是二分之一次方,同理立方根就是三分之一次方……,推广得:

root{n}{a}=a^{1/n}


如果指数是 2/3又怎么计算呢?

还是根据上面的幂的乘方,指数相乘规律,有 a^{2/3}=a^{2*{1/3}}=(a^2)^{1/3}=root{3}{a^2}

这样,我们就能总结出指数为分数的计算规律了:

a^{m/n}=root{n}{a^m}


如果指数变成了0,是怎么样的呢

根据底数相同,式子相除,指数相减我们让指数变为0看看:a^0=a^{m-m}=a^m/a^m=1

所以零次方是等于一啊,推广得:

a^0=1

0^0 , 零的零次方没有意义


现在0和正数作为指数的运算我们都会了,那么指数为负数是怎么样的呢?我们用-5试试:

根据上面的规律,可以这样写:a^{-5}=(a^5)^{-1}

也就是说,所有的负指数都可以拆成正数和一个-1,正数我们已经会了,那么-1次方怎么运算呢

就像指数为0一样,我们让他变成-1 :a^{-1}=a^{0-1}=a^0/a^1=1/a

所以原来-1次方的结果是变成倒数啊!那么 a^{-5}=(a^5)^{-1}=1/a^5 ,我们总结得到:

a^-1=1/a ~~~~ a^{-m}=1/a^m

那么我们再来推导一下负分数:

a^{-{m/n}}=1/a^{m/n}=1/root{n}{a^m}


幂函数

形如 y=x^a的函数称为幂函数(x为自变量,a为常数)

如同幂运算一样,指数不同时,幂函数的表现形式也不同。

y=x^0 我们知道任何数的零次方都为1,所以幂函数图像是y=1的直线

y=x^1 任何数的一次方都为它本身,所以幂函数图像是y=x的直线

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  • 最后更改: 2018/12/16 23:22
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