幂及其运算
公式总结
说明 | 公式 |
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底数相同,式子相乘,指数相加 | |
底数相同,式子相除,指数相减 | |
幂的乘方,指数相乘 | |
积的乘方,指数均分 | |
指数为0 | |
指数为-1 | |
指数为正数 | |
指数为负数 |
幂的形式
幂也叫次方或乘方,意思为一个数自乘多次
表达式为 ,其中n为非零数,m为实数,表示为n的m次幂/m次方,n为底数,m为指数
幂的运算规律
说明 | 公式 |
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底数相同,式子相乘,指数相加 | |
底数相同,式子相除,指数相减 | |
幂的乘方,指数相乘 | |
积的乘方,指数均分 |
根号的本质
根号和幂是一对互为相反的运算符,若有则有.
就像减法是一种特殊的加法一样,我们先假设根号是一种特殊的幂,那么有
根据上面的底数相同,式子相乘,指数相加规律有
所以平方根的实质就是二分之一次方,同理立方根就是三分之一次方……,推广得:
当指数为分数时
如果指数是 又怎么计算呢?
还是根据上面的幂的乘方,指数相乘规律,有
这样,我们就能总结出指数为分数的计算规律了:
当指数为0时
如果指数变成了0,是怎么样的呢
根据底数相同,式子相除,指数相减我们让指数变为0看看:
所以零次方是等于一啊,推广得:
, 零的零次方没有意义
当指数为负时
现在0和正数作为指数的运算我们都会了,那么指数为负数是怎么样的呢?我们用-5试试:
根据上面的规律,可以这样写:
也就是说,所有的负指数都可以拆成正数和一个-1,正数我们已经会了,那么-1次方怎么运算呢
就像指数为0一样,我们让他变成-1 :
所以原来-1次方的结果是变成倒数啊!那么 ,我们总结得到:
那么我们再来推导一下负分数:
幂函数
定义
形如 的函数称为幂函数(x为自变量,a为常数)
分类
如同幂运算一样,指数不同时,幂函数的表现形式也不同。