函数
函数(Function)是指两个数集之间的对应关系的关系式
映射
映射是指两个数集之间的对应关系。例如有一个为学生分数的集合{40,50,60,70,80,90,100},和一个表示成绩优良的集合{不及格,及格,良好,优秀}。我们假设<60分为不及格,60~80及格,80~90良好,>90优秀。那么两个集合之间就有对应关系了。 按照这个分数等级分配的规律,我们就把分数集合映射到了优良集合中
数学上的映射也有,例如我想把我现在拥有的0~1之间的数据放大成0~100,那么我只需要对每个数据×100即可。这样就从0~1通过映射关系(×100)映射到0~100。
自变量、因变量
函数属于映射的一种,函数(function)这个词,最早由中国清朝数学家李善兰翻译,出于其著作《代数学》。之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,或者说一个量中包含另一个量。
这就和映射一样,映射规则是不变的,只要映射前的量改变了,映射后的量也可能发生改变。
函数,拥有自变量和因变量,顾名思义,自变量就是自己会变的量,因变量就是因为自变量的变化从而跟着变化的量。确定它们两个之间的关系的式子,就叫做函数。
举个例子,例如你以一定的速度v向前走,你走了一分钟、两分钟、一个钟走了多远呢?
根据常识我们知道路程(v为速度,t为时间),那么只要把t换成一分钟、两分钟就可以知道走过的路程了。
这个例子,其实就是一个函数的表示。式中的t其实就是自变量,因为我们还没有确定时间,或者我们要计算多个时间,那么t就是变化的,就是自变量。
而v我们知道走路速度不变,走路速度也不会随时间变化(就是不累,不会一会快一会慢),v是不会变的,只是一个常数,所以是常量。
最后的S是由v和t共同决定的,因为t是自变量,S随着t的变化而变化,所以S就是因变量啦
如果我们把自变量写成x,把因变量写成y,那么就可以变为 ,那么从自变量到因变量的关系就是乘了一个v,这就是他们的函数关系,一般我们把函数关系式写成 (f是函数英文function的缩写),可以有
这个f,在这里就是表示将括号里面的东西乘一个v,无论括号里面是什么,例如: 甚至你还可以 或者
定义域、值域
还是拿回这个走路来说,我们设走路的函数 t是自变量,也就是走的时间,可以为1s、2s等,那么能不能为负呢?显然不能,哪里有负的时间,过了-10秒是什么意思啊。那么这个自变量t只能取大于等于0的数了。 我们把自变量能取值的范围叫做定义域,也就是可以定义这个函数的区域(自变量不能定义,函数也不能定义)。
因为因变量S会随自变量t变化而变化,既然t有一个范围,那么显然S也会有一个范围,我们成为函数的值域,也就是这个函数最终的值的范围。
一般如果确定了定义域,我们这样书写函数(在后面加上定义域):
在 这个路程-时间函数中,值域不仅与t还和v有关:
- , 值域将,向前走,路程为正
- , 值域将,不动,路程为0
- , 值域将,向后走,路程为负
这告诉我们,在讨论函数的值域时,还要看清题目,判断是否需要分情况讨论
关于定义域一般喜欢这样出题,例如求 的定义域
首先,分母不能为0,也就是根号里面不能,解出根号下面的一元二次方程,可以得到 。 再看看分子,对数函数取值要 那么也就是
分子分母相结合,也就是
所以这个函数的定义域就是
(图中数轴上的空心圆圈表示不等于该数)
函数图像
平面直角坐标系
我们在平面上定一个点,称它为原点,然后经过这个原点画一条直线,然后再画一条垂直第一条直线又过原点的直线,两条直线相互垂直,所以叫直角坐标系。
画好线后,我把线变成坐标轴,给它标上刻度。
一般来说,水平的坐标轴向右为正,称为x轴,垂直的坐标轴向上为正,称为y轴。
这两条直线把平面分成了四大区块,我们把区块称为象限,x轴和y轴都为正的为第一象限,然后逆时针排布为第二第三第四象限。
那么,在平面直角坐标系上表示一个点的位置,就可以用x轴的坐标(横坐标)和y轴的坐标(纵坐标)来表示了,格式为(x轴坐标,y轴坐标),例如
函数图像
还是用回上面的路程-时间函数举例
我们先假设我走路的速度是 2m/s
那么,我们可以尝试这样做:先让t=0,记下S的值,然后t=1、t=2、t=3…并且记录下各个S的值,列出一个表格来:
0 | 0 |
1 | 2 |
2 | 4 |
3 | 6 |
4 | 8 |
… | … |
我们把一行数据看做为平面直角坐标系上的点,t的值为x轴坐标,S的值为y轴坐标,例如第2行可以表示为(1,2),把这些点标出来:
如果我们减少t增加的幅度呢?0.5?0.1?最后到很小很小,图案不就变成一条线了吗 我们就说,这条线就是这个函数的图案了。我们发现这个路程-时间函数的图像是一条上升的直线,也就是速度不变的话,时间越长(x坐标越大),走的距离越长(y坐标越大)。
函数图像与方程
方程?又关方程什么事啊。诶,你看 他们不是很像吗?你说得好像也很有道理诶,那他们有什么关系呢?
例如我要解 这个方程,我假设一个 的函数,然后把这个函数的图像画出来: 方程是要等于19,那么我再在y轴上找到19,再画一条水平线过去,找到直线y=19的地方,在过它画一调垂直线就可以知道它的横坐标了,横坐标就是方程的解了! 哎呀,这方程我心算都能算出来,还要画图麻烦死了。诶,这只是简单的方程,如果是一元二次方程呢,三次呢,四次呢?
只有试过才知道,用画图解一元二次方程 我们设函数 ,然后画图出来: 然后在y=2的地方画一条水平线,就可以找到方程的解了。
但是,最后划线这一步其实是可以省略掉的,我们只需要一个小小的转化:把原方程转化为标准方程: 这样子,我们设的函数 只需要找出当y=0的点,在y=0的地方画一条水平线…诶,等等,这条线不是已经有了吗,就是x轴啊,所以我们直接找函数曲线和x轴的交点不就行了吗 这就是标准方程存在的意义之一,我们称函数曲线和x轴相交的点的横坐标为函数的零点,上面这个函数的零点就是-1和3,-1和3也是函数对应方程的根。
虽然上面举例的两个函数都比较简单,可以直接算出解来,但是往往许多复杂的方程都依赖着函数图像求解,而且函数图像里还藏有很多方程的性质,是值得我们学习的,下面展示一些有一点复杂的函数: