algebra:trigonometric_function

三角函数

三角函数是在初等基础函数乃至现代科学中非常重要的函数，不仅在数学领域，三角函数在生活生产的方方面面都会用到，学习三角函数有非常重要的意义！

弧度制

一般我们描述一个角的大小，使用的是角度制，即一个角的大小是多少度多少分。直角为90°，平角为180°。

弧度制是另外一种描述角度的单位，它的定义是这样的：在圆里，一个圆心角的角度等于这个角对应的弧长除以半径。当圆的半径为1，也就是单位圆的时候，圆心角=弧长，所以叫做弧度制。

如图，角 alpha = l/r ,单位使用rad。

如果我们知道一个角的角度和半径，可以反求对应的弧长 l=delim{|}{alpha}{|}r

我们知道，半径为1的单位圆的周长 c=2 pi r=2 pi , 如果圆心角是一个直角，对应的弧长就是1/4个周长，即直角的弧度制大小为 pi/2 rad 或 pi/2 （一般情况下rad可以略去不写）。

同样，我们可以得出一下结论：

角 角度制/° 弧度制/rad
锐角 0 <alpha< 90 0<alpha<pi/2
直角 alpha= 90 alpha=pi/2
钝角 90 <alpha< 180 pi/2<alpha<pi
平角 alpha= 180 alpha=pi
周角 alpha= 360 alpha=2pi

读者可以尝试自己推导出弧度制与角度制之间的转换公式。

此外，人们还规定了角的正负：一个角由两条边组成，一条边可以固定作为起始的边，另一条沿着交点旋转，两条构成角。活动边逆时针转动所形成的角为正，顺时针为负(上图)。一般地，把单位圆放在垂直坐标系中研究，圆心与原点重合，规定x轴正方向为圆心角的起始边，即可得到正负角。

弧度制的出现，相比于60进制的角度制，极大地简便了数理中的计算问题，具有非凡的意义。

直角三角形的三角函数

勾股定律

直角三角形的直角边的平方和等于斜边平方：a^2+b^2=c^2

直角三角形的定义

直角三角形，是有一个直角的三角形，三角形是所有几何图形的基础，所有几何图形都能被三角形一一拆分。

我们把直角的两条边称为直角边，最长的一条边称为斜边。

对于直角三角形的角α来说(只讨论两个锐角，不讨论两个直角)，它的两条边一条是斜边，另外一条是直角边，我们把直角边称为邻边，把剩下的一条在角对面的边称为对边，斜边还是叫斜边。

三角函数的定义

在汉语中，有“勾三股四弦五”对勾股定理的描述，即短直角边称勾，长直角边称股，斜边称弦。

在直角三角形中，固定住直角，调整一个锐角的大小，它的对边和斜边长度都会发生改变。这些长度的改变和角的大小之间有一定的关系。三角函数就是描述了这些关系：

函数名 英文名 缩写名 表达式 说明
正弦函数 sine sin sin{alpha}=a/c 对边比斜边称正弦
余弦函数 cosine cos cos{alpha}=b/c 邻边比斜边称余弦
正切函数 tangent tan tan{alpha}=a/b 对边比邻边称正切

这就是三个基础三角函数，其他三角函数都可以由其取倒数得到。

它们之间有这些关系：

  • tan{alpha}={sin{alpha}}/{cos{alpha}}
  • sin{alpha}=cos{alpha-pi/2}
  • cos{alpha}=sin{alpha+pi/2}
  • sin{alpha}^2+cos{alpha}^2=1

单位圆中的三角函数

在单位圆中，我们可以更加直观地感受到三角函数的魅力。

在单位圆中以正x轴为一边作圆心角α，过另一边与圆弧相交的点P做一条平行y轴的直线，直线与x轴交与点Q，这样我们就构造了一个∠PQO为直角的直角三角形OPQ。

因为单位圆的半径为1，所以直角三角形OPQ的斜边delim{|}{OP}{|}=1,这样我们就有角α的三角函数：

  • sin{alpha}=delim{|}{PQ}{|}/delim{|}{OP}{|}=delim{|}{PQ}{|}
  • cos{alpha}=delim{|}{OQ}{|}/delim{|}{OP}{|}=delim{|}{OQ}{|}
  • tan{alpha}=delim{|}{PQ}{|}/delim{|}{OQ}{|}=k(OP)

你看，sin{alpha}=delim{|}{PQ}{|} 这PQ的长度不就是点P的纵坐标吗，同样cos α 表示的是点P的横坐标，而tan{alpha}=delim{|}{PQ}{|}/delim{|}{OQ}{|}，PQ比OQ就是OP的斜率。

那么单位圆上的点P的坐标就是(cos{alpha},sin{alpha}) 其中角α是PO与x轴正半轴形成的夹角。

这里，我们可以直观地验证 sin{alpha}^2+cos{alpha}^2=1 这个关系：sin{alpha}是PQ的长，cos{alpha}是OQ的长，PQ和OQ都是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，他们的平方和等于OP的平方，即是1。

为什么是单位圆

这里研究三角函数的时候，用的是单位圆，那为什么不能用其他半径不是1的圆呢？

当然可以，例如我们尝试用半径为3的圆，那么就有sin{alpha}=delim{|}{PQ}{|}/3 , P点坐标为(3cos{alpha},3sin{alpha})。

所以，使用其他的圆并不是不可以，在这里使用单位圆最为简便。

三角函数性质

我们可以按照角的大小分类讨论三角函数性质：

角 象限 sin cos tan
正负 角增大时 正负 角增大时 正负 角增大时
0<alpha<pi/2 第一象限 正 增大 正 减小 正 增大
pi/2<alpha<pi 第二象限 正 减小 负 减小 负 减小
pi<alpha<3pi/2 第三象限 负 减小 负 增大 正 增大
3pi/2<alpha<2pi 第四象限 负 增大 正 增大 负 减小

负角的性质读者可以自己推倒。

若角大小大于2 pi ，也就是饶了一圈回来，那么它的三角函数是多少呢。

从上面我们知道，角在单位圆上的点的坐标即可描述三角函数，所以原地自转一圈，回到原来的地方，还是那个点，三角函数还是不变。所以有： sin{alpha}=sin(alpha+2k pi)~~~(k=0,1,2,...) 另外两个三角函数也是用，此处不一一列出。

同时，我们也可以得到三角函数的定义域与值域：

  • 三角函数定义域为R
  • 三角函数sin、cos值域为 -1<y<1
  • tan值域为R

三角函数的图像

这是sin x(黄)与cos x(蓝)的图像，函数的周期性与我们刚刚得到的结论一致，下面是tan x的图像，x到pi/2附近则会趋向无限大/无限小，是因为tan表示的是斜率，在接近直角时，斜率会接近无限大。 为什么sin与cos的函数像波浪一样呢，这里应该有一张原理的动图，做好会补上。

这里只先讨论sin(x)与cos(x)，暂不谈论tan(x)。

三角函数的一般式为：y=A sin(omega x+ varphi)+b

  • A为振幅，可以理解为图像垂直方向的缩放量
  • ω为周期，可以理解为图像水平方向的缩放量
  • φ为初相，可以理解为图像左右平移量
  • b为常量，可以理解为图像上下平移量

下面以sin(x)为例，展示系数不同时的图像：

  • algebra/trigonometric_function.txt
  • 最后更改: 2018/12/24 20:28
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